Teorema binomial

Dalam aljabar elementer, teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (x + y)ⁿ menjadi sebuah penjumlahan dari suku-suku dengan bentuk ax^by^c, dimana eksponen b dan c adalah bilangan bulat non negatif dengan b + c = n, dan koefisien a dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada n dan b. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,

(x+y)^4 \;=\; x^4 y^0 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, x^0y^4.

Koefisien a pada suku axbyc dikenal sebagai koefisien binomial

atau

(keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi n dan b dapat disusun membentuk segitiga Pascal. Angka-angka ini juga muncul dalam kombinatorika, dimana

menunjukkan banyaknya kombinasi yang berbeda dari unsur b yang dapat dipilih dari suatu himpunan dengan unsur sebanyak n.

Contoh

Segitiga Pascal

Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk x + y kuadrat

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!

Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari x + y sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:

\begin{align} \\[8pt] (x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt] (x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt] (x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt] (x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt] (x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7. \end{align}

Perhatikan bahwa:

Eksponen dari $x$ menurun hingga mencapai 0 ( $x^0=1$ ) dengan nilai awal adalah n (n pada $(x+y)^n$ ).
Eksponen dari $y$ naik dari 0 ( $y^0=1$ ) hingga mencapai n (juga n pada $(x+y)^n$ ).
Baris ke-n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan (perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0).
Untuk setiap baris, jumlah semua unsur (yaitu jumlah dari koefisien) sama dengan $2^n$ .
Untuk setiap baris, banyaknya unsur sama dengan $n+1$ .

Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,

\begin{align} (x+4)^3 &= x^3 + 3x^2(4) + 3x(4)^2 + 4^3 \\ &= x^3 + 12x^2 + 48x + 64.\end{align}

Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan tanda yang berlawanan pada suku berikutnya:

(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!

Contoh lain yang berguna adalah pengembangan akar kuadrat berikut:

(1+x)^{0.5} = \textstyle 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots

(1+x)^{-0.5} = \textstyle 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots

Distribusi binomial

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N,pabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

Contoh:

Sebagai contoh,sebuah dadu dilempar sepuluh kali dan dihitung berapa jumlah muncul angka empat. Distribusi jumlah acak ini adalah distribusi binomial dengan n = 10 dan p = 1/6.

Contoh lain, sebuah uang logam dilambungkan tiga kali dan dihitung berapa jumlah muncul sisi depan. Distribusi jumlah acak ini merupakan distribusi binomial dengan n = 3 dan p = 1/2.

Matematika Diskrit

Kamis, 05 Juni 2014

Binomial

Teorema binomial

Contoh

Distribusi binomial

Contoh:

Tidak ada komentar:

Posting Komentar